福田の数学YouTube解説動画・大学別索引

福田の雑談・思うこと

福田の数学

早稲田大学・2022・理工学部・数学雑感~第1問  2022/7/25

これは… 問題はよくあるグラフ描画 → 面積 → 回転体の体積 という見慣れた形式です。が! 体積計算が…あまりに大変すぎないか? 悩ましい、悩ましいぞ、これは。 計算さえ頑張れば得点はできる。
しかし、時間との駆け引きはどうなの? 頑張った、時間もかけた、計算ミスでした。
なんてことになったら… あるいはそう思っているのは私だけ?
今の高校生はこのくらいの計算はへっちゃら?
それにしても出題者の心遣いも伝わってくる問題です。 少しでも計算しやすくするために積分区間になる交点の値がきれいにlog2, log3, log4, log6のように美しく並ぶんですね。
確かに計算しやすいけれど…
早稲田大学に是非正答率を教えて頂きたい。 正答率が3割を超えていれば今の高校生の計算力はかなり高いと見る。 もちろん部分点を取った人は多かったと思うので、 あくまでも完答した人の率を知りたい。
解説動画を見る



東京医科歯科大学2022医学部数学雑感~第3問  2022/5/25

 f(x)がわからなくてもf'(x)さえわかっていたら∫f(x)dxの定積分が計算できるという話。 部分積分に気付けばある意味簡単な問題です。これは得点源にしないとね。 この問題の評価は

  • 難易度★★★☆☆
  • 計算量★★★☆☆
  • 発想力★★★☆☆
解説動画はこちらになります。ぜひご覧ください。解説動画を見る 東京医科歯科大学2022理系雑感〜第3問



東京医科歯科大学2022医学部数学雑感~第2問  2022/5/24

 問題文を読んで「反射」だから放物線の性質から反射した直線が焦点を 通過するということに気付いた人はえらいと思います。 ま、「反射」を考えず、角の二等分線の傾きから直線の傾きを求めれば解けますね。 (3)は焦点を通過した直線が放物線で反射する直線を求める問題。 今度は焦点を使えないので計算するしかないと動画では説明しましたが、 もしかしたら(1)(2)から最初に入ってきた軸に平行な光線に平行になることを証明できそうだなあ。 この問題の評価は

  • 難易度★★★☆☆
  • 計算量★★★☆☆
  • 発想力★★★☆☆
さあ!この問題2の解説動画はこちらになります。 ぜひご覧ください。解説動画を見る 東京医科歯科大学2022理系雑感〜第2問



東京医科歯科大学2022医学部数学雑感~第1問  2022/5/23

 第1問は去年に続き難しかったなあ。数え上げるだけである程度点が取れるようになっているので救われるけれど、 (4)が解けた人はほとんどいなかったのでは? それでも(4)も答だけはなんとか出せたよ!って言う人もいたと思います。素晴らしいですね。 どういう採点基準で採点されたかはわからないけれど、 ある程度おおまかでも正しい結論を出せた答案にはたくさん点を上げて欲しい。 昨日から東京医科歯科大学2022年の解説動画を公開し始めました。 どの問題も骨のある重厚な問題です。是非挑戦してみてください!第1問はこちら。 解説動画を見る 東京医科歯科大学2022理系雑感〜第1問



東京大学2022理系数学雑感〜第4  2022/5/12

 あれ?やけに簡単そうだぞ?と一瞬勘違いしそうな問題です。 ところがどっこい、やり始めると「当たり前だけどどう説明していいかわからない」となる問題です。 まさか、「グラフより明らか」で済まされるわけないしねえ。 (2)の方がある意味方針が立てやすいね。 2つの図形の面積が等しくなるような条件を考えるので、とりあえず2つの面積を立式することは誰でもわかる。 だけど、ここに計算の大変さと制限時間の壁が立ちはだかることになるのでした。 結局(2)も撃沈!となりそう (1)をうまく説明できる人はグラフを色々描きながらあることを発見できる観察力のある人でしょう。 それは「3点で交わるようにするには傾きをできるだけ大きくとることなんだ」ということに気づけるかどうかです。 グラフを1、2個しか描かない人は気づけない (2)は面積が等しくなるのは、「原点を通る直線を引いたときだけ」ということに気づけば、 それを言葉でうまく言いくるめちゃえば部分点くらいはどれそう。 詳しくは以下のURLから解説動画をご覧ください。 解説動画を見る 東京大学2022理系雑感〜第4問



東京大学2022理系数学雑感〜第3問  2022/5/09

 さすが東大!と思ってしまういい問題です。難しいだけの問題は山ほどあるけれど東大の問題が優れていると感じるのは、 よくよく考えると実は簡単だと気付かせてくれるときが多いのよね。 作問をする側の人間からしたら、そういう問題を作るのは至難の業。 東大さん、さすがです。この問題、まずは「十分に離れている」という状態の定義を与えてあって受験生はまずそれを理解することに全力を傾けることになる。 それさえ乗り越えられれば… そして補集合を考えることで考えやすくなることに気付くとトントン拍子に解決していくという過程を踏んでいくのだ。 素晴らしいね。 しかも場合分けに気付く必要もあるしね。解いていてだんだん楽しくなりそうです。 優しいけれど難しい。これが東大の数学の本質かな?この問題の解説動画は以下のURLからご覧くださいね! 解説動画を見る 東京大学2022理系雑感〜第3問



東京大学2022理系数学雑感〜第2問  2022/5/07

 これは難問だ。(1)は別として(2)から後は問題の意味がわからないと思う。a_n が a_kの倍数になるってどういうこと? a_n も a_k も一般項だよね?どっちも動くの? どっちかは定数なの?はっきりしないよね? ヒントが無さ過ぎ問題発生なのよ。そのあとの問題文も「となるようなnをkで表せ」 のように書いてくれてあればまだ気付きやすいんだが… 「k, nを用いて表せ」とは意地悪にも程が過ぎるよ、まったく(--;) 実際にはkを固定して、つまりa_kを固定してa_kの倍数となる項が何番目にあるのか (それがn)を調べなさいということなんだ。それに気付くまでに高校生は苦労すると思うのよ。それがわかって始めて、 どんな実験をするべきかがわかってくるので 「実験しないから気付かないんだよ」とえらそうに言っても、高校生からしてみれば「?」なんだと思う。 まあそれくらい難しい問題だと言うこと。 私の解説動画はその実験を詳しく説明しているので興味があれば見に来てください。 解説動画を見る 東京大学2022理系雑感〜第2問



東京大学2022理系雑感〜第1問  2022/5/06

 今年の東京大学の理系第1問は単なる計算問題でした。 昨年の第1問が歴史に残る印象深い問題でしたから、それと比べるとなんとつまらない問題なのか? と思った人も多かったかも。 でも東大はよくこの手の問題を出すのよ。 ちなみに昨年2021年東大理系第1問は歴史に残る1題となりましたよ。 どんな問題か振り返りたい人のために詳しく解説した動画のリンク張ります。 ということで、今年の第1問は単なる計算問題。東大は単なる計算問題をよく出題するけれど、 これも東大のはなつメッセージと考えてよいのではないか? 数学のひとつの側面として確かな計算力が必要なのだと言っているんだろうね とは言っても以外と計算に苦しんだ人もいたかもね。東京大学2022年理系数学第1問の解説動画はこちらです 解説動画を見る 東京大学2022理系雑感〜第1問



九州大学2022理系雑感〜第5問  2022/5/04

 媒介変数表示で表された曲線の性質を説明してグラフを描く問題。 (1)(2)までは標準的なレベルだけど(3)からは厳しい。 だいたい多くの高校生が媒介変数表示のグラフの対称性を説明できないと思われ、 経験値がものを言う問題かも。 さらに曲線上の点を60°回転した点がまた曲線上にあることを示す話は やっぱり複素数平面にもっていくんだろうなあ。臨機応変に立ち回れるか?これも厳しいねえ。 しかもその後の計算も相当むずいし 実はこの問題、慣れた人が見れば一発で内サイクロイド曲線とわかるはず。 原点中心半径6の円に内接する半径1の円が転がってできる曲線(内サイクロイド)なんだよね。 それを説明できるなら答案はかなりショートカットして楽もできますけどね。動画公開は5月8日 内サイクロイド(ハイポサイクロイドもしくはアステロイドともいう) 解説動画を見る 曲線の観点でこの問題を考える動画を別仕立てで作ったのでこれもアップしますよ。 5月10日公開ですよ(^^)/~ 解説動画を見る 九州大学2022数Ⅲ雑感〜第5問



九州大学2022理系雑感第4問  2022/5/03

 長文、長文、長文ああ読む気がしない…というような問題です。しかもテーマが区分求積なのでややこしいったら。 でも断言できます。今年の九大の理系問題はこれが一番優しい問題だったと。 「え?これが?」と思う人もいるとは思いますが、答は「Yes」なのよ。 だからといって簡単とも言えない。定積分の定義を与えておいて、 そこから区分求積を説明させるという論証能力が必要な問題。 ある種の間違った受験勉強をしてきた人は帰ってねと言わんばかりの問題。 そういう意味では良問ですが、他の問題が超むずかったから… 今年同じことを感じたのが東工大だね。どちらも超難化です。 ちなみに九大のこの問題の解説動画は5月7日公開の予定です。お楽しみに! 解説動画を見る 九州大学2022数Ⅲ雑感〜第4問



九州大学2022理系雑感第3問  2022/5/02

 (1)(2)はごく普通の約数、倍数の整数問題。 (3)はひとつ見つけて!と言っているので適当に探してまぐれ当たりでもいいってことですね? って思ってテキトーに代入しまくっても答が出てこないのですよ。 で、どうするか?となるので①の式をもっと単純化して値を見つけやすくする努力をしろってことです。 まあ(2)の結果を使うのは目に見えてますのでなんとかなるとは思います。(試験場でなんとかなるとは言っていない) ちなみにコンピュータを使って①に値を代入しても満たす解が見つからないのよ、 これが…これって満たす自然数の組が1つしかないってこと? それともかなりでかい数になると見つかるのか?どうやってこんな方程式作った?九大恐るべし! 解説動画を見る 九州大学2022数Ⅲ雑感〜第3問



九州大学2022年理系第2問  2022/5/01

 (1)(2)も簡単ではないけど、(3)はどうだろう?予備校の解答を見ると微分の定義式にもっていっているけど 高校生がこの式を見て微分の定義式にもっていくか?そりゃ無理でしょ。 ということで猛烈に反発意識が高まったので普通に極限計算した結果をアップします。 あ、アプしますが、順番があるので5月5日にアプの予定です。少しお待ちを! それにしても難しいな、今年の九大は!この後も難問揃いだぞ。 受験生が落ち込まなかったか心配。出題者はもう少し考えて欲しい。 解説動画を見る 九州大学2022数Ⅲ雑感〜第2問



九州大学2022理系第1問雑感  2022/4/30

 今年の九州大学の数学は難しくなったなあ( ; _ ; )/~~~ 九州大学の数学Ⅲの第1問は予備校の評価が「標準」になってるけど、そうか?簡単そうでむずいよ? 平面に対して、2点が同じ側にあることなんて高校生にとっては簡単に説明できないと思うけどねえ。 予備校の解答を見ると内積を使ってしれっと説明してるけど、そんな発想出てくるとは思えないんだけど。 平面の方程式を利用できれば簡単なんだが。やっぱり高校生には平面の方程式は知っておいてほしいと思った今日この頃でした。 解説動画を見る 九州大学2022数Ⅲ雑感〜第1問



3回目の「わかった!」を目指して  2021/4/02

 高校へ入学された皆さん、いよいよ新しい生活が始まります。希望と不安の入り交じった気持ちでおられるのではないでしょうか。 私からは、皆さんへのメッセージとして、3回目の「わかった」を目指そうという話しをしたいと思います。高校生になって一番の不安は勉強の事だと思います。中学と違って内容が難しくなるので、自分はついていけるのだろうか? と思ってしまいますよね。特に心配なのは数学ではないでしょうか? そこで高校数学を学ぶ上で知っておいて欲しいことをお話しします。

 それが3回目の「わかった」を目指そうという話しです。中学数学と比べると高校数学はかなり難しくなります。1回「わかった」と思っても、しばらくすると 「何も分かっていなかったんじゃあないか?」と思うことが結構あるんです。中学の時だったら、 1回理解してしまえば、それで大丈夫だったことが 高校ではそうではなくなるのです。そこで3回目の「わかった」を目指そうという話しになります。

 まず1回目の「わかった」を味わ必要がありますよね。 できることなら、その瞬間は教室の中であるべきです。そのために、是非予習に力を入れて下さい。 予習することで明日受ける授業の内容に疑問点が見つかります。 その疑問点を、授業で解決するのです。先生がどう説明してくれるのか、授業も楽しみになりますね。 もしその疑問点を先生が明確に話してくれなければ、直ぐに質問に行きましょう。こうすることで1回目の「わかった」をいち早く経験できます。

 ところがです。分かったつもりが分かっていないのですよ。 その後復習で問題を解いたり、定期テスト前に勉強し直したりすると、また疑問が出てくるのです。 高校数学ではそんなことが、頻繁にあります。それだけ奥が深いと言うことなんです。 分かったつもりの問題がわからない。そんな時は授業のノートを見直しましょう。 そこに、気になる事が書いてありませんか?できることなら記憶を辿り、先生がその時、授業で何を喋っていたか、思い出して下さい。 先生は生徒が陥りがちな部分をよく知っているので授業で、その話しをしてくれていた可能性は高いです。 ただ、その時あなたは、まだそこまでの理解度に達していなかったのでその話の真意を知ることが出来なかったのでしょう。この「わかったつもりが、わかっていなかった」ことに気付いたときがチャンスなんです。自分一人で乗り越えられなかったら、躊躇せずに質問に行くべきです。こうやってあなたは2回目の「わかった」を経験できます。そして、また一段レベルアップしていけるのです。

 じゃあ3回目の「わかった」は何なの?と思いますよね。3回目の「わかった」は実はずっと後に訪れます。3年生になって入試問題を解くようになったとき、それまで皆さんは、分野ごとのセパレートコースを走っていたのです。それが3年生になると、オープンコースに変わります。つまり、今までやってきた分野が入り交じって融合問題を解く事になります。その時になって、またわからなくなるのです。今まで関係が無いと思っていた違う分野との関係を問われた時、初めてあの時習った事柄の本当の意味に気付かされるのです。点と点が結ばれて線になる瞬間ですね。ここまでできら、あなたの知識は完全に活きたものとなるのです。でも慌てないで。それはずっと先の話です。まずは1回目の「わかった」に向けて予習をしていきましょう。3回目の「わかった」を目指して。



なぜ答えを見ても賢くなれないのか 2021/3/30

 答を見ても賢くならない。数学を勉強する上で心に留めておくことです。 どんなに丁寧な解説を読んでも、それだけであなたの数学力が向上するわけでわありません。 何度繰り返し読んで暗記しても、いざ問題を解こうとするといい考えが浮かんでこない。 なぜなのか? 問題を解くときの状況を想像して下さい。

 私たちは問題を解くときに思考の森に入っていきます。その森はいくつもの道に枝分かれし正解というゴールに つながっている道はほんの少ししかありません。 しかもその道は枯れ葉などで隠されいるのかもしれないのです。 そんな状況で私たちは正しい道を見つけださなければなりません。思考の森のイメージをご覧下さい。まず問題があります。 初見で3通りの着想があったとしましょう。

思考の森

 A君は着想1を選びました。しかしそのアプローチには3つの方法があり、そのうち2つは失敗します。 A君はなんとか着想4へたどり着きました。ここでもまた、3つのアプローチがあってその中で有効な方法は1つだけです。 その方法なら後の処理を誤らなければ正解にたどり着けます。

 B君は最初の段階で着想2を解き始めました。その後だめな道を選ぶことなく着想5へたどり着き着想7 へとつなげることで正解に到達出来ました。

 C君は着想3に気付きました。かなり斬新な発想です。 この方法だと着想5を飛ばして一気に着想7へ飛んで行けて正解にたどり着けます。 しかし多くの人がこの森で道を間違えて×のところで立ち往生してしまいます。

 また来た道を戻ってやり直すのですが、なかなか正しい道が見えてきません。そこで参考書のお世話になるわけです。 しかし参考書には何が書かれているのでしょうか。参考書に書かれているのは、 おそらく今色を付けたこの部分の説明なんです。 あるいは、別解答としてこの解法も書いてくれている参考書もあるでしょう。

 そしてその内容は各ステップを事細かに丁寧に説明してくれていると思います。 それを読めば正しい道の確認はできますが、だからと言って、それで思考の森で迷子にならないわけでわないですよね。

 私たちが必要としているのは道に迷ったとき、あるいは迷いそうなときに、どうやって正しい道を選択するのか、 その知恵であり判断力です。

 たとえば今青く塗ったこの間違いについて解説してほしいと思いませんか? さらにもう1個青く塗った×、 これは2つの着想からどちらからでも陥る共通の間違いなので多くの人が踏み入ってしまいそうな所だと思われます。 こんな所の話も聞いてみたいでしょう。 でも残念ながら参考書にはそのことはほとんど書かれていません。なぜなら、本当の思考の森はこの図よりも はるかに複雑なので、すべてをカバーする事は難しいのです。 そこまで事細かに書かれた文などとても読み切れないでしょう。

 私たちが数学を賢くなるには参考書を読むだけでは十分ではありません。 思考の森の中で自然に正しい道を選んでいける「コツ」をつかむ必要があります。

 A君は同じ分岐点で、何の迷いもなく正しい道を選びます。なのに自分は間違った道を選んでしまう。 「なぜ自分は正しい道を選ばなかったのか?」 「なぜ自分はいつも間違った道を選んでしまうのか?」 その答えを探す必要があります。そこに自分の足りないものがあるのでしょう。 そしてその答は参考書には書いてないのです。

 ではどうすればよいのか? まず問題を整理しておきましょう 分岐点において、間違った道を選んでしまう状況として

  1. そもそもそんな道があることを知らなかった。
  2. その道があまりにも大変そうだったので楽な道を選んでしまった。
  3. その道も頭をかすめたが、別の道の方がよいと思った。

 このうち、1のタイプの人は明らかに経験不足。対処方法は「もっと勉強しなさい」という当たり前の 話しなのでこれから期待ですね。

 2のタイプの人は「うまい解法」にこだわりすぎる人が多いです。 たとえば、場合の数の問題ですべて書き出せば終わるのに面倒くさがって 計算でなんとかしようとして自爆するタイプ。 大切な計算や作業でも正解に辿り着けるならその道を行くべきですよね。

 そして3のタイプ。この人が一番問題なんです。 自分の考えにこだわりすぎる人に多い状況です。 そして新しいことをなかなか受けいることができない人に多い状況です。 数学が得意な人に多い状況です。 なまじっかできる人なので、自分の方法から脱却できないのです。

 あなたは大丈夫ですか? 問題を解きました。解答を見て答があっていました。 解説を読むと自分の解いた方法ではないことが書いてあります。 読んでみたが、なんかすっと頭に入ってこない。 でもできたからいいじゃないか。 となって終わってしまう人、結構多いです。 こういう人は進歩するチャンスを自ら放棄してしまっているのです。

 自分の理解できないことが解説に書いてあったなら、 おそらくそこには自分の知らなかった「ある事柄」が隠されているんです。 その事柄を知ることで今まで分かっていなかった問題が解けるようになるかもしれません。 解けたんだから、それでいいじゃないかと思って新たな知識を遮断すると、 その知識が必要な問題に出くわしたときに 正しい道を選ぶことができなくなります。 結局たくさん勉強してきても「知らないこと」は存在するのです。 私自身、40年以上も受験数学を指導してきましたが、 今でも「こんな方法があるんだ!」という事が常にあります。 高校生の段階ですべて知っているなんてあり得ないのです。

 A君は分岐点でなんの迷いもなく正しい道を選んでいきます。 なのに自分は間違った道の方を選んでしまう。 それはA君が知っていて、君が知らない何かがあるからです。 多分A君が天才だからではありません。

 ですから思考の森で迷子になったら次のように考えましょう。 ある事柄を自分は知らない。その事柄を理解していれば、自然に正しい道を進みたくなるようになるはず。 でも参考書にそこまでは書いてないので「自分の知らない事柄がなんなのか?」がわかりません。 そんなときは、身近にいる先生や友人に聞いてみるのがいいでしょう。

「自分はこの問題でここまで、できたんですが、この後こう進んで、結局解けませんでした。」 というような聞き方をしましょう。 そうすれば「え、こんな考え方は知らないかな?」みたいな解答が返ってくるかもしれません。 そうなったらしめたものです。けっして「この問題が解けません。教えて下さい。」などと言う聞き方はしないことです。 その質問の答えは参考書の解説と同じになってしまいますから。

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